Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/53

39

ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

(28), on voit que :

$\mathrm {P} _{xx}=-2\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x^{2}.$

On trouverait que, pour la position d’équilibre du système, on a de même :

$\mathrm {P} _{xy}=-2\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y,\qquad \mathrm {P} _{xz}=-2\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z,\,\dots$

Ces expressions montrent que, si les six quantités

${\begin{alignedat}{6}\sum &{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x^{2},&\qquad \sum &{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y^{2},&\qquad \sum &{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z^{2},\\[1.5ex]\sum &{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y\,\mathrm {D} z,&\qquad \sum &{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z\,\mathrm {D} x,&\qquad \sum &{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y.\\\end{alignedat}}$

sont nulles, la pression extérieure est nulle dans l’état d’équilibre. C’est la réciproque de la propriété que nous avons démontrée au n^o 10.

32. Considérons maintenant l’équation (36) qui est une des équations du mouvement ; en y remplaçant $\mathrm {W}$ par son développement $\mathrm {W} _{1}+\mathrm {W} _{2},$ elle devient :

$-\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\sum {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '_{x}}}}{dx}}+\sum {\frac {d{\dfrac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}}{dx}}\cdot$

$\mathrm {W} _{1}$ étant linéaire et homogène par rapport aux dérivées partielles, ${\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '_{x}}}$ est une constante ; la dérivée de cette fonction par rapport à $x$ est nulle et le premier terme du second membre de l’équation disparaît. Les équations du mouvement se ré-