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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

tion des neuf dérivées partielles des $\xi .$ Par suite du déplacement virtuel donné au système, chacune de ces dérivées varie en général, mais dans le cas particulier où l’on a $\delta \eta =\delta \zeta =0,$ les seules dérivées qui changent de valeur sont $\xi '_{x},$ $\xi '_{y},$ $\xi '_{z}.$ Par conséquent :

$\delta \mathrm {W} ={\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\delta \xi '_{x}+{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{y}}}\delta \xi '_{y}+{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{z}}}\delta \xi '_{z}=\sum {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\delta \xi '_{x}.$

Or $\delta \xi '_{x}$ c’est-à-dire $\delta {\frac {d\xi }{dx}}$ est égal à ${\frac {d}{dx}}\delta \xi ,$ et l’expression de $\delta \mathrm {W}$ devient

$\delta \mathrm {W} =\sum {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}{\frac {d}{dx}}\delta \xi .$

Par suite, on a :

$\delta \mathrm {U} =\int d\omega \,\mathrm {P} _{x}\,\delta \xi +\int d\tau \,\sum {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}{\frac {d}{dx}}\delta \xi ,$

et, en portant cette valeur dans l’égalité (33) où l’on fait $\delta \eta =\delta \zeta =0$ dans le terme relatif aux travaux des forces d’inertie, on obtient :

(34)

$\int d\omega \,\mathrm {P} _{x}\,\delta \xi +\int d\tau \sum {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}{\frac {d}{dx}}\delta \xi -\int \rho \,d\tau {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\delta \xi =0.$

30. Il faut maintenant transformer cette expression qui contient à la fois $\delta \xi$ et la dérivée de cette quantité par rapport à $x.$ Pour cela nous nous appuierons sur le lemme suivant, qui sert ordinairement à la démonstration du théorème de Green dans la théorie du potentiel :