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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

fonction $\mathrm {K}$ se trouvent des doubles produits tels que $\xi '_{y}\eta '_{x}$ ne pouvant se réduire avec les doubles produits de $\Theta ^{2}$ qui ne sont pas de cette forme. Nous devons donc avoir :

(28)

$\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}=\mu _{1}\mathrm {H} .$

25. L’ensemble des deux derniers termes :

${\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho '_{1}$

du développement (20) de la fonction $\mathrm {W} _{2},$ est aussi, dans le cas des corps isotropes, une fonction isotrope, et des relations (20), (27) et (28) nous déduisons l’égalité

(29)

${\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho '_{1}=\lambda \mathrm {K} +\left(\mu -\mu _{1}\right)\mathrm {H} +\nu \Theta ^{2}.$

Dans l’étude de la fonction $\mathrm {W} _{2}$ (16), nous avons montré que, dans le cas général, le premier membre de cette égalité est une fonction homogène et du second degré des six quantités :

${\begin{array}{ccc}\xi '_{x},&\eta '_{y},&\zeta '_{z}\\[1.5ex]\xi '_{y}+\eta '_{x},&\eta '_{z}+\zeta '_{y},&\zeta '_{x}+\xi '_{z}.\end{array}}$

Les termes ${\xi '_{y}}^{2}$ et $2\xi '_{y}\eta '_{x}$ ne peuvent provenir que du carré de la quantité $\xi '_{y}+\eta '_{x}\,;$ par conséquent, ces termes doivent avoir même coefficient. Or le terme ${\xi '_{y}}^{2}$ ne se trouve que dans la fonction $\mathrm {H}$ où il a le coefficient $1\,;$ il entrera donc dans le second membre de la relation (29) avec le coefficient $\mu -\mu _{1}.$