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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

milieux. Montrons qu’en effet les quantités $\mathrm {F,\,G,\,H}$ disparaissent alors des équations précédentes.

Les milieux holoèdres possédant trois plans de symétrie optiques et par conséquent un centre de symétrie, les équations qui donnent le mouvement d’une de leurs molécules ne doivent pas changer quand on change les signes de $x,\,y,\,z,$ $\xi ,\,\eta ,\,\zeta .$ Or cette condition ne serait pas satisfaite si ces équations contenaient une dérivée du troisième ordre, ${\frac {d^{3}\xi }{dx^{2}dy}}$ par exemple, car cette dérivée conserverait son signe tandis que les dérivées ${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}},\dots ,$ qui forment les premiers membres, en changeraient. D’ailleurs nous avons déjà dit (124) que d’une manière générale les équations du mouvement dans un milieu possédant un centre de symétrie ne pouvaient contenir que des dérivées d’ordre pair.

191. Les coefficients des différents termes des polynômes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {G} ,$ $\mathrm {H}$ ne sont pas indépendants ; nous allons montrer que si le polynôme $\mathrm {F}$ contient $\alpha {\frac {d^{3}\eta }{dx^{2}dy}},$ le polynôme $\mathrm {G}$ contient $-\alpha {\frac {d^{3}\xi }{dx^{2}dy}}\cdot$

D’après le mode de formation du polynôme $\mathrm {P}$ le terme $\alpha {\frac {d^{3}\eta }{dx^{2}dy}}$ de ce polynôme doit provenir du terme $\alpha {\frac {d\eta }{dx}}{\frac {d^{2}\xi }{dx\,dy}}$ ou $\alpha \eta '_{x}\xi _{xy}''$ de la fonction $\mathrm {W} _{2}.$ En effet si nous appliquons ce mode de formation nous devrons d’abord prendre la dérivée de ce terme par rapport à $\xi _{xy}'',$ ce qui donne $\alpha \eta '_{x},$ puis prendre la dérivée seconde de ce résultat par rapport à $x$ et à $y,$ ce qui donne $\alpha {\frac {d^{3}\eta }{dx^{2}dy}}\cdot$