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DOUBLE RÉFRACTION

entre les directions des vibrations de Fresnel, de Neumann et de M. Sarrau étant indépendantes du choix des axes de coordonnées pourvu qu’ils soient rectangulaires, les groupes de relations (I) et (II) permettront toujours de trouver les cosinus directeurs des vibrations de Neumann et de Fresnel quand on connaîtra les composantes $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de la vibration de M. Sarrau. Cherchons donc ce que deviennent les équations (III) quand on fait un changement d’axes.

Posons

$au^{2}+bv^{2}+cw^{2}=\mathrm {F} (u,\,v,\,w).$

Les équations (III) peuvent alors s’écrire :

(IV)

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {F} }{du}},\quad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {F} }{dv}},\quad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {F} }{dw}}\cdot$

L’équation du plan tangent à l’ellipsoïde $\mathrm {F} =1$ au point $\mathrm {P}$ de coordonnées $-u,\,-v,\,-w$ est :

$\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {F} }{du}}+\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {F} }{dv}}+\mathrm {W} {\frac {d\mathrm {F} }{dw}}=-1$

et la distance $\mathrm {OT}$ (fig. 19) du centre $\mathrm {O}$ de l’ellipsoïde à ce plan est :

${\frac {1}{\sqrt {\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{du}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {F} }{dv}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {F} }{dw}}\right)^{2}\cdot }}}$

Si donc on prend sur la droite $\mathrm {OT}$ une longueur $\mathrm {OS} ={\frac {1}{\mathrm {OT} }}$ les coordonnées du point $\mathrm {S}$ seront $-{\frac {d\mathrm {F} }{du}},$ $-{\frac {d\mathrm {F} }{dv}},$ $-{\frac {d\mathrm {F} }{dw}}$ c’est-