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DOUBLE RÉFRACTION

montrée précédemment (170), nous obtiendrons

$\left[\delta \chi {\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} \right]_{0}+\left[\delta \chi {\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} \right]_{0}+\left[\delta \chi {\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} \right]_{0}=0.$

Cette égalité devant être satisfaite quelle que soit la valeur donnée à $\delta \chi ,$ on doit avoir

(5)

${\frac {d}{dx}}\rho \mathrm {L} +{\frac {d}{dy}}\rho \mathrm {M} +{\frac {d}{dz}}\rho \mathrm {N} =0.$

Il existe donc une fonction $\chi ,$ et par suite, une fonction $\psi ,$ telles que les valeurs de $\mathrm {L,\,M,\,N} ,$ qui s’en déduisent satisfont à l’équation précédente.

Il est facile de démontrer que si

${\begin{array}{crrcl}\mathrm {pour} &\mathrm {L} _{0}=1,&\mathrm {M} _{0}=\mathrm {N} _{0}=0&\mathrm {on~a} &\psi =\psi _{1},\\[1.25ex]&\mathrm {M} _{0}=1,&\mathrm {L} _{0}=\mathrm {N} _{0}=0&&\psi =\psi _{2},\\[1.25ex]&\mathrm {N} _{0}=1,&\mathrm {M} _{0}=\mathrm {L} _{0}=0&&\psi =\psi _{3},\\\end{array}}$

la forme la plus générale de la fonction $\psi$ sera

$\psi =\mathrm {L} _{0}\psi _{1}+\mathrm {M} _{0}\psi _{2}+\mathrm {N} _{0}\psi _{3}.$

En effet, puisque $\psi _{1},\,\psi _{2},\,\psi _{3}$ satisfont à l’équation (5), la fonction $\psi$ doit y satisfaire également. De plus les valeurs moyennes des dérivées partielles de $\psi$ sont bien égales à $\mathrm {L_{0},\,M_{0},\,N_{0}.}$ car on a

$\left[{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{0}=\mathrm {L} _{0}\left[{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right]_{0}+\mathrm {M} _{0}\left[{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right]_{0}+\mathrm {N} _{0}\left[{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right]_{0}=\mathrm {L} _{0},$

puisque par hypothèse

$\left[{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right]_{0}=1,\quad \left[{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right]_{0}=0,\quad \left[{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right]_{0}=0.$