Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/283

269

DOUBLE RÉFRACTION

Par conséquent, pour démontrer qu’il ne peut exister qu’une fonction $\psi$ il nous suffit de démontrer qu’il ne peut y avoir qu’une seule fonction périodique $\chi .$

Pour cette démonstration considérons l’équation (IV). En y remplaçant $\mathrm {L,\,M,\,N}$ par ${\frac {d\psi }{dx}},\,{\frac {d\psi }{dy}},\,{\frac {d\psi }{dz}},$ elle devient :

(3)

${\frac {d}{dx}}\rho \,{\frac {d\psi }{dx}}+{\frac {d}{dy}}\rho \,{\frac {d\psi }{dy}}+{\frac {d}{dz}}\rho \,{\frac {d\psi }{dz}}=0.$

Si nous admettons qu’il existe deux fonctions $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ satisfaisant à cette équation, la différence $\psi _{1}-\psi _{2}$ devra également y satisfaire. Or cette différence est une fonction périodique égale, d’après ce qui précède, à la différence $\chi _{1}-\chi _{2}$ des parties périodiques des fonctions $\psi _{1}$ et $\psi _{2}\,;$ elle doit donc se réduire à une constante. Par conséquent les deux fonctions $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ ne diffèrent que par une constante.

173. Montrons qu’il existe une fonction $\psi$ satisfaisant à la relation (3).

Considérons la fonction

$\rho (\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}).$

Sa valeur moyenne est essentiellement positive puisque $\rho$ est une quantité positive et le second facteur une somme de carrés. En outre elle ne peut devenir nulle, car il faudrait que l’on eût $\mathrm {L=M=N=0} ,$ ce qui est impossible puisque les valeurs moyennes $\mathrm {L_{0},\,M_{0},\,N_{0}}$ qui sont données ne sont pas nulles en général. Cette valeur moyenne doit donc passer par un minimum auquel correspond une certaine valeur de la fonction $\chi .$ Si nous donnons à $\chi$ un accroissement $\delta \chi$ les accroissements $\delta \mathrm {L} ,$ $\delta \mathrm {M} ,$ $\delta \mathrm {N}$ de $\mathrm {L,\,M,\,N}$ satisfont en vertu des