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DOUBLE RÉFRACTION
Par conséquent, pour démontrer qu’il ne peut exister qu’une
fonction il nous suffit de démontrer qu’il ne peut y avoir
qu’une seule fonction périodique
Pour cette démonstration considérons l’équation (IV). En
y remplaçant par
elle devient :
(3)
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Si nous admettons qu’il existe deux fonctions et satisfaisant
à cette équation, la différence devra également
y satisfaire. Or cette différence est une fonction périodique
égale, d’après ce qui précède, à la différence des parties
périodiques des fonctions et elle doit donc se réduire à
une constante. Par conséquent les deux fonctions et ne
diffèrent que par une constante.
173. Montrons qu’il existe une fonction satisfaisant à
la relation (3).
Considérons la fonction
Sa valeur moyenne est essentiellement positive puisque est
une quantité positive et le second facteur une somme de
carrés. En outre elle ne peut devenir nulle, car il faudrait que
l’on eût ce qui est impossible puisque les
valeurs moyennes qui sont données ne sont pas
nulles en général. Cette valeur moyenne doit donc passer par
un minimum auquel correspond une certaine valeur de la
fonction Si nous donnons à un accroissement les
accroissements
de satisfont en vertu des