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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

En additionnant les seconds membres des égalités (4) et (5) et en remplaçant dans (3) la seconde intégrale par cette somme, nous obtenons une égalité contenant des intégrales étendues à la surface $\mathrm {S}$ et des intégrales étendues au volume $\mathrm {R.}$ En représentant la somme des intégrales doubles par $\mathrm {I} ,$ l’équation (3) devient

$\mathrm {I} -\int \left({\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}+\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\right)\,\delta \xi \,d\tau =0,$

et, comme elle doit être satisfaite, quel que soit $\delta \xi ,$ l’élément différentiel placé sous le signe d’intégration étendu au volume doit être nul. Nous aurons donc

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\cdot$

Cette équation devient, en désignant par $\mathrm {W} _{1}$ le terme du premier degré et par $\mathrm {W} _{2}$ le terme du second degré dans le développement de $\mathrm {W}$ par rapport aux puissances croissantes de $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta ,$

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi ''}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''}}\cdot$

Mais $\mathrm {D} \xi ,\,\mathrm {D} \eta ,\,\mathrm {D} \zeta$ étant du premier degré (14) par rapport aux dérivées partielles de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ il en sera de même de $\mathrm {W} _{1}\,;$ les dérivées de cette fonction par rapport à $\xi '$ et $\xi ''$ seront des constantes et l’équation précédente se réduit à

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''}}\cdot$

C’est la première des équations du mouvement d’une molécule : les deux autres s’obtiendraient de la même manière.