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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

La fonction des forces $\mathrm {U}$ qui entre dans les équations du mouvement deviendra, en tenant compte de la relation (7) :

(19)

$\mathrm {U} =\mathrm {U} _{2}''+\int \mathrm {W} _{2}\,d\tau .$

Nous pouvons aussi développer la fonction $\mathrm {W}$ suivant les puissances croissantes des $\rho ,$ comme nous l’avons fait pour la fonction $\mathrm {U} '\,;$ et, en nous reportant à la formule (15), nous écrirons :

(20)

$\mathrm {W} _{2}=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho _{1}^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho _{1}\rho '_{1},$

la sommation s’étendant seulement aux molécules de l’élément $d\tau .$

La quantité $\rho _{1}$ étant homogène et linéaire par rapport aux quantités $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta$ et $\rho _{2}$ étant homogène et du second degré par rapport à ces mêmes quantités, il résulte de l’expression précédente que $\mathrm {W} _{2}$ est une fonction homogène et du second degré de $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta .$

14. Nouvelles hypothèses. — Nous admettrons que les déplacements $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ sont des fonctions continues des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ de la molécule dans la position d’équilibre, et qu’il en est de même de leurs dérivées successives. Cette hypothèse est légitime ; car, s’il en était autrement et si le déplacement relatif de deux molécules très voisines n’était pas très petit, il en résulterait des réactions élastiques très considérables qui ne permettraient pas à un pareil état de choses de subsister.