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POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION

varie, mais dans le cas où l’on a, comme nous l’avons supposé, $\delta \eta =\delta \zeta =0,$ il n’y a que les dérivées partielles de $\xi$ qui changent de valeur. Par conséquent, l’accroissement $\delta \mathrm {W}$ de la fonction $\mathrm {W}$ ne dépendra que des accroissements des diverses dérivées partielles de $\xi .$ Dans le but de simplifier les calculs, nous admettrons que les seules dérivées partielles de $\xi$ qui entrent dans $\mathrm {W}$ sont ${\frac {d\xi }{dx}}$ et ${\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}},$ dérivées que nous pourrons représenter sans ambiguïté par $\xi '$ et $\xi ''.$ Nous avons alors,

$\delta \mathrm {W} ={\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\delta \xi '+{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\delta \xi '',$

et, par suite

$\int \delta \mathrm {W} \,d\tau =\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,\delta \xi '\,d\tau +\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi ''\,d\tau .$

On sait, et nous avons rappelé cette propriété au § 30, que l’on a

(4)

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,\delta \xi '\,d\tau =\int \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,\delta \xi \,d\omega -\int \delta \xi \,{\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}\,d\tau ,$

et

$\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi ''\,d\tau =\int \alpha \,{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi '\,d\omega -\int \delta \xi '\,{\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,d\tau .$

Cette dernière égalité devient, en faisant subir à la seconde intégrale du second membre une transformation analogue,

(5)

${\begin{aligned}\int {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi ''\,d\tau &=\int \alpha {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,\delta \xi '\,d\omega \\-\int \alpha \,\delta \xi &{\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}d\omega +\int \delta \xi {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\,d\tau .\\\end{aligned}}$