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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

nous avons trouvé (69) pour solution particulière de l’équation

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0,$

l’expression

$\xi ={\frac {e^{-i\alpha \left(r-\mathrm {V} t\right)}}{r}}\cdot$

Par conséquent,

$\xi _{0}={\frac {1}{r}}e^{i\alpha r},$

sera une solution particulière de l’équation de condition (1), $r$ étant la distance du point $x,y,z$ à l’origine. Cette quantité sera encore solution de la même équation quand $r$ désignera la distance du point $x,$ $y,$ $z$ à un point fixe quelconque, car l’équation différentielle conserve la même forme quand on prend pour origine le point fixe.

Soient maintenant $\mathrm {P} _{1},\,\mathrm {P} _{2},\,\mathrm {P} _{3},\,\dots \,\mathrm {P} _{n}$ un certain nombre de points fixes dont les distances au point $\mathrm {M}$ de coordonnées $x,y,z,$ sont $r_{1},\,r_{2},\,r_{3},\,\dots \,r_{n}\,;$ la somme

$\xi _{0}=m_{1}{\frac {e^{i\alpha r_{1}}}{r_{1}}}+m_{2}{\frac {e^{i\alpha r_{2}}}{r_{2}}}+m_{3}{\frac {e^{i\alpha r_{3}}}{r_{3}}}+\dots +m_{n}{\frac {e^{i\alpha r_{n}}}{r_{n}}}$

satisfera à l’équation (1). Si on supposait $\alpha =0,\xi _{0}$ se réduirait à une somme de termes tels que ${\frac {m_{1}}{r_{1}}},$ c’est-à-dire que $\xi _{0}$ serait le potentiel au point $\mathrm {M} ,$ supposé attiré suivant la loi de Newton par des points $\mathrm {P} _{1},$ $\mathrm {P} _{2},$ $\dots$ $\mathrm {P} _{n}$ de masses $m_{1},$ $m_{2},$ $\dots$ $m_{n}.$ Cette analogie va nous permettre de trouver facilement plusieurs solutions particulières de l’équation (1).