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CHAPITRE XXIV.

se présentera sous la forme suivante : les $x_{i}$ et les $y_{i}$ seront développés suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},$

les coefficients étant périodiques en $t+h,$ où

$\mathrm {A} _{1},\quad \mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k},\quad h$

sont $k+1$ constantes arbitraires.

Si l’on substitue ces valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans l’équation des forces vives, le premier membre se trouve aussi développé suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},$

les coefficients étant périodiques en $t+h\,;$ et, comme il doit être indépendant de $t,$ il en résulte qu’il le sera également de $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{k}$ et $h.$

Si donc on substitue les valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans l’équation (1), on voit qu’on aura

$\mathrm {C} _{1}=\mathrm {C} _{0},$

et par conséquent

$\mathrm {J} =\mathrm {const.}$

Dans $\mathrm {J}$ l’expression sous le signe $\textstyle \int$ se trouve développée suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;$

les coefficients sont périodiques en $t+h\,;$ elle dépend linéairement des $k+1$ différentielles

$d\mathrm {A} _{1},\quad d\mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad d\mathrm {A} _{k},\quad dh.$

On devra donc avoir

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\textstyle \sum }&\left(2x\,{\frac {dy}{d\mathrm {A} _{i}}}\right.&{}+&{}\left.y\,{\frac {dx}{d\mathrm {A} _{i}}}\right)&&=\mathrm {const.} ,\\{\textstyle \sum }&\left(2x\,{\frac {dy}{dh}}\right.&{}+&{}\left.y\,{\frac {dx}{dh}}\right)&&=\mathrm {const.} \end{alignedat}}\right.$

Les premiers membres des équations (2) se trouvent développés suivant les puissances des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}\,;$ tous les termes de ce développement doivent être nuls, sauf le terme tout connu. On