Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/70

58

CHAPITRE XXIII.

tion de la forme

(9)

$\mathrm {F} ^{\star }(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')=\mathrm {const.} ,$

où $\mathrm {F} ^{\star }$ sera une fonction linéaire par rapport aux déterminants

$\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'$

et dont les coefficients seront des fonctions périodiques de $t.$

Voici maintenant comment on pourra former toutes les relations de la forme (9) relatives à une solution périodique donnée.

Dans le cas des équations de la Dynamique, les équations (5 a) se répartissent en couples comme les équations (5) ; soit

(5 a bis)

$\mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}t}\;={\textstyle \sum }\,\xi _{i}'\theta _{ik},$

(5 a ter)

$\mathrm {B} _{k}'e^{-\alpha _{k}t}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}'\theta _{ik}',$

un de ces couples ; multiplions (5 a bis) par (5 ter), (5 a ter) par (5 bis) et retranchons ; nous obtiendrons une équation de la forme (9). Chaque couple d’équations nous en donnera une, et toutes les autres équations de la forme (9) ne seront que des combinaisons linéaires de celles qu’on peut ainsi former.

Parmi toutes les équations de la forme (9) ainsi obtenues, choisissons-en une ; opérons de même pour toutes les autres solutions périodiques ; nous aurons alors une relation

$\mathrm {F} ^{\star }(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')=\mathrm {const.}$

dont le premier membre sera une fonction linéaire des déterminants ; les coefficients de cette fonction linéaire seront des fonctions des $x$ définies seulement pour les valeurs des $x$ qui correspondent à une solution périodique.

Il reste à savoir si le choix peut être fait de façon que ces coefficients soient des fonctions algébriques ou même des fonctions continues des $x.$

Revenons maintenant aux invariants du premier ordre linéaires. D’après le n^o 29, la forme des équations (4) et par conséquent celle des équations (5) se trouve modifiée quand deux ou plusieurs des exposants caractéristiques deviennent égaux.

Si, par exemple, neuf de ces exposants sont égaux à zéro, on