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CHAPITRE XXIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

un système de relations qui ne seront que des conséquences de celles qui auront été précédemment formées.

Les relations (7), (7 bis), (7 ter), etc. seront algébriques d’après nos hypothèses, et leur ensemble formera ce que j’ai appelé au n^o 19 un système de relations invariantes.

Si donc un système d’équations différentielles admet une solution périodique singulière, il admettra un système de relations invariantes algébriques.

Il est probable que le problème des trois corps n’admet pas de relations invariantes algébriques autres que celles qui sont déjà connues. Je ne suis pas toutefois encore en mesure de le démontrer.

Cela posé, supposons que nous ayons plusieurs solutions singulières ; pour chacune d’entre elles on devra avoir

(8)

$\beta _{1}\mathrm {B} _{i.1}+\beta _{2}\mathrm {B} _{i.2}+\ldots +\beta _{q}\mathrm {B} _{i.q}=0.$

Seulement les constantes $\beta$ pourront ne pas être les mêmes pour deux solutions singulières différentes. Il n’est donc pas évident que ces deux solutions singulières devront satisfaire à un même système de relations invariantes. C’est cependant ce qui arrive ainsi que nous allons le démontrer.

Supposons, pour fixer les idées, $q=4\,;$ la suite des raisonnements serait la même dans le cas de $q>4.$ Considérons les $n$ relations

(17)

$\beta _{1}\mathrm {B} _{i.1}+\beta _{2}\mathrm {B} _{i.2}+\beta _{3}\mathrm {B} _{i.3}+\beta _{4}\mathrm {B} _{i.4}=0.\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Formons le Tableau T des $4n$ coefficients $\mathrm {B} \,;$ tous les déterminants formés à l’aide de quatre colonnes de ce Tableau devront être nuls.

S’ils ne le sont pas identiquement, nous trouverons ainsi une ou plusieurs relations auxquelles devront satisfaire toutes les solutions singulières, où entreront seulement les $x$ et où n’entreront pas les indéterminées $\beta .$

S’ils le sont Identiquement, considérons trois des relations (17), nous en déduirons

${\frac {\mathrm {M} _{1}}{\beta _{1}}}={\frac {\mathrm {M} _{2}}{\beta _{2}}}={\frac {\mathrm {M} _{3}}{\beta _{3}}}={\frac {\mathrm {M} _{4}}{\beta _{4}}},$

les $\mathrm {M}$ étant des mineurs du premier ordre du Tableau T.