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FORMATION DES INVARIANTS.

d’où

${\frac {d\Delta }{dt}}=\Delta \sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}}\cdot$

On en conclut

${\frac {d\mathrm {M} \,\Delta }{dt}}=\Delta {\textstyle \sum }\,\mathrm {X} _{i}\,{\frac {d\mathrm {M} }{dx_{i}}}+\Delta {\textstyle \sum }\,\mathrm {M} \,{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}}=\Delta \sum {\frac {d(\mathrm {MX} _{i})}{dx_{i}}}=0,$

d’où enfin

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=0.$

C. Q. F. D.

Équations de la Dynamique.

255.Dans le cas des équations de la Dynamique, il est aisé de former un grand nombre d’invariants intégraux. Nous avons appris, en effet, aux n^os 56 et suivants, à former un certain nombre d’intégrales de l’équation aux variations et nous avons appris dans le Chapitre précédent comment on peut en déduire des invariants intégraux.

Une première intégrale (équation (3), t. 1, p. 167) est la suivante

$\eta '_{1}\xi _{1}-\xi '_{1}\eta _{1}+\eta '_{2}\xi _{2}-\xi '_{2}\eta _{2}+\ldots =\mathrm {const.}$

L’invariant intégral qu’on en déduit est le suivant

$\mathrm {J} _{1}=\int \left(dx_{1}\,dy_{1}+dx_{2}\,dy_{2}+\ldots +dx_{n}\,dy_{n}\right).$

Il est du deuxième ordre et fort important pour ce qui va suivre. Un peu plus loin (toujours p. 167, t. I), j’obtiens une seconde intégrale que j’écris

$\sum \left|{\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i}\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}\\\xi _{k},&\xi '_{k},&\xi ''_{k},&\xi '''_{k}\\\eta _{k},&\eta '_{k},&\eta ''_{k},&\eta '''_{k}\end{array}}\right|=\mathrm {const.}$

L’invariant intégral que j’en déduis est du quatrième ordre et s’écrit

$\mathrm {J} _{2}=\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}\,dx_{k}\,dy_{k}.$