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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

nos surfaces asymptotiques

${\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}+(1-\mu )r{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}},\\[0.75ex](\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}-(1-\mu )r{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}\cdot \end{aligned}}$

Nous avons déjà trouvé

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}&={\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}&=\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}$

Il reste à déterminer $\mathrm {S} _{1}\,;$ pour cela nous avons l’équation

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}.$

Dans le second membre ${\frac {dr}{dt}}$ et ${\frac {d\omega }{dt}}$ doivent être remplacés par ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}={\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}$ et par ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}=\pm {\frac {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{r^{2}}}\cdot$ Ce second membre est donc une fonction connue de $r$ et de $\omega .$

L’équation devient

$r^{2}{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}}\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=r^{2}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}).$

Posons

$v=\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}}}\cdot$

On voit que $r$ et $\textstyle {\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}$ sont des fonctions périodiques de $v$ et nous pouvons regarder $\mathrm {S}$ comme fonction de $v$ et $\omega .$

Notre équation devient alors

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dv}}\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=r^{2}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}).$

Le second membre est une fonction connue de $v$ et de $\omega ,$ périodique par rapport à $v.$

Cette équation est ainsi tout à fait de même forme que l’équation (2) du n^o 403, $v$ jouant le rôle de $x$ et $\omega$ celui de $y.$

Elle se traitera de la même manière ; on déterminera par les procédés du n^o 403 les quatre fonctions $\mathrm {S} _{1.1},$ $\mathrm {S} _{1.2},$ $\mathrm {S} _{1.3},$ $\mathrm {S} _{1.4}$ correspondant aux quatre surfaces asymptotiques.

On reconnaîtra comme au n^o 403 que ces surfaces asympto-