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CHAPITRE XXII.

Si d’ailleurs on pose

on devra avoir

Nous aurons là équations linéaires d’où nous pourrons tirer les pourvu que

Or, d’après le no 237, les ne dépendent que des et pas de il en est donc de même des ce qui veut dire que les sont des intégrales des équations (1).

251.Soit maintenant

une intégrale ; il est clair que

sera un invariant intégral du premier ordre.

On peut alors se poser la question suivante :

Considérons un invariant intégral du premier ordre

et supposons que la quantité sous le signe soit une différentielle exacte ; quelle relation y aura-t-il entre l’intégrale de cette différentielle exacte et les intégrales des équations (1) ?

Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables du no 237 ; notre invariant deviendra

Les et devront dépendre des mais pas de

Si cette expression est une différentielle exacte, la fonction devra donc être de la forme