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CHAPITRE XXXIII.
Comment peut-il arriver que 
ait une partie commune avec 
L’aire ne peut être tout entière intérieure à 
puisque l’invariant
intégral a même valeur pour les deux aires. Pour la même
raison l’aire ne peut être tout entière intérieure à 
Les deux
aires ne peuvent non plus coïncider ; si en effet une portion d’une
courbe asymptotique (de la première famille par exemple) coïncidait
avec sa 
ième conséquente, il en serait de même de sa 
ième
antécédente quelque grand que soit 
or, si est grand, cette
ième antécédente est très voisine des points périodiques et les
principes du Chapitre VII suffisent pour montrer que cette coïncidence
n’a pas lieu.
Il faut donc supposer que le périmètre de coupe celui de 
or, le périmètre de se compose d’un arc 
appartenant à
la courbe 
de la première famille et d’un arc
appartenant à la courbe 
de la seconde famille.
De même, le périmètre de se composera de l’arc 
ième conséquent de 
qui appartiendra à la même courbe
asymptotique que c’est-à-dire à une courbe de la première
famille, et de l’arc 
ième conséquent de 
qui appartiendra à la même courbe asymptotique que
c’est-à-dire à une courbe de la seconde famille.
Deux courbes de même famille ne pouvant se couper, il faut
que coupe ou que 
coupe 
Mais si les deux arcs et 
se coupent, leurs ième
antécédents 
et se couperont également. Il
faut donc que coupe le ième conséquent ou le ième antécédent
de 
Mais l’arc tous ses antécédents et tous ses conséquents
appartiennent à une même courbe invariante de la deuxième
famille, représentée sur la figure de la page 194 par l’ensemble des
courbes 
L’arc est donc coupé une infinité de fois par cet
ensemble de courbes.
Les deux surfaces 
et 
qui passent par la trajectoire fermée 
ont donc une infinité d’autres courbes d’intersection.
