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CHAPITRE XXXIII.

On voit, et c’est le point important que je voulais signaler, que, dans la région d’où le point $\xi ,\,\eta$ ne peut pas sortir, la fonction $\mathrm {F} _{1}$ reste toujours finie.

Nous adopterons le mode de représentation de la page 199 et nous représenterons la situation du système par le point de l’espace dont les coordonnées rectangulaires sont

${\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\cos y_{2}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}\!+\!4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}},&\mathrm {Y} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}}}\sin y_{2}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}\!+\!4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}},\end{aligned}}$

$\mathrm {Z} ={\frac {2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\sin y_{1}}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}\!+\!4x_{1}}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos y_{1}}}\cdot$

On voit que quand le rapport ${\frac {x_{1}}{x_{2}}}$ est constant, le point $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ décrit un tore ; que ce tore se réduit à l’axe des $\mathrm {Z}$ quand ce rapport est infini et au cercle

$\mathrm {Z} =0,\quad \mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}=1,$

quand ce rapport est nul.

Les dérivées ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}}}$ restent finies dans la région considérée, de même que la fonction $\mathrm {F} _{1}$ elle-même, sauf quand $x_{1}$ ou $x_{2}$ est très petit, il n’en serait pas de même des dérivées ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}}},$ ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{2}}}$ qui pourraient devenir infinies pour $r_{2}=0.$ Il en résulte que

${\begin{aligned}-n_{1}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}},&-n_{2}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}\end{aligned}}$

diffèrent très peu de ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\cdot$ Nous avons vu à la page 200 que, dans l’hypothèse où nous nous sommes placés, ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}$ et par conséquent $n_{2}$ ne peuvent s’annuler parce que la constante $\mathrm {C}$ des forces vives (la constante $\mathrm {C}$ du n^o 313 se ramène facilement à la constante $h$ h du n^o 299) est plus grande que ${\frac {3}{2}}$ ${\Big (}$ à la page 200, il faut lire partout ${\frac {3}{2}}$ au lieu de ${\frac {3}{4}}{\Big )}\cdot$

Nous aurons donc, si $x_{2}$ n’est pas très petit,

$n_{2}>0,$