Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/385

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

373

SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

planète troublée au corps central peut s’annuler, mais il n’en est pas de même de la distance $r_{1}$ des deux planètes.

Cette hypothèse correspond à la suivante que nous avons faite aux pages 198 et 199 ; à savoir que la courbe $\mathrm {F} =\mathrm {C}$ présente l’aspect de la fig. 9 et que le point $x_{1},\,x_{2}$ reste sur l’arc utile $\mathrm {AB} .$

Nous allons adopter les notations du n^o 313 ; nous introduirons donc les variables képlériennes $\mathrm {L,\,G} ,$ $l,\,g.$ Mais il y a deux manières de définir ces variables képlériennes. Nous pourrions, comme au n^o 9, rapporter le corps troublé au centre de gravité du corps troublant et du corps central, et envisager l’ellipse osculatrice décrite autour de ce centre de gravité. Mais il est préférable de rapporter le corps troublé au corps central lui-même et d’envisager l’ellipse osculatrice décrite autour de ce corps central.

Ces deux procédés sont également légitimes ; nous avons vu en effet au n^o 11 que l’on peut rapporter le corps $\mathrm {B}$ au corps $\mathrm {A}$ et le corps $\mathrm {C}$ au centre de gravité de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} .$ Il est clair qu’on pourrait également rapporter $\mathrm {C}$ à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ au centre de gravité de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C} .$ Si $\mathrm {A}$ représente le corps central, $\mathrm {B}$ le corps troublant et $\mathrm {C}$ le corps troublé, on voit que la première solution est celle qui a été adoptée au n^o 9 et que dans la seconde solution, que nous adopterons désormais, les deux corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont rapportés tous deux au corps central, puisque, la masse de $\mathrm {C}$ étant nulle, le centre de gravité de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {C}$ est en $\mathrm {A} .$

Il vient alors

\mathrm {F} '=\mathrm {R} +\mathrm {G} ={\frac {\sqrt {1-\mu }}{2\mathrm {L} ^{2}}}+\mathrm {G} +{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu }}}{r_{1}}}-{\frac {\mu }{2{\sqrt {1-\mu }}}}(r_{1}^{2}-1-r_{2}^{2})

où $\mu$ et $1-\mu$ désignent les masses du corps troublant et du corps central, $r_{1}$ la distance des deux planètes, $1$ la distance constante du corps troublant au corps central, $r_{2}$ celle du corps troublé au corps central.

Nous poserons, comme au n^o 313,

{\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t\,;\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1},&\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2\mathrm {L} ^{2}}}+\mathrm {G} ={\frac {2}{(x_{1}+x_{2})^{2}}}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\,;\end{aligned}}

\mu \,\mathrm {F} _{1}={\frac {{\sqrt {1-\mu }}-1}{2\mathrm {L} ^{2}}}+{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu }}}{r_{1}}}-{\frac {\mu }{2{\sqrt {1-\mu }}}}\left(r_{1}^{2}-1-r_{2}^{2}\right).