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CHAPITRE XXXIII.

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CHAPITRE XXXIII.

SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

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Modes divers de représentation géométrique.

392.Pour l’étude des solutions doublement asymptotiques, nous allons nous borner à un cas très particulier, celui du n^o 9, masse de la planète troublée nulle, orbite de la planète troublante circulaire, inclinaisons nulles. Le problème des trois corps admet alors l’intégrale bien connue sous le nom d’intégrale de Jacobi.

Revenant au n^o 299 sur l’étude de ce problème du n^o 9, nous avons été amenés à distinguer plusieurs cas. Nous avons vu à la page 158 que l’on doit avoir l’inégalité

(1)

${\frac {m_{1}}{r_{1}}}+{\frac {m_{2}}{r_{2}}}+{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})=\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})>-h.$

Nous avons distingué ensuite le cas où $m_{1}$ est beaucoup plus petit que $m_{2}$ et où $-h$ est suffisamment grand (p. 159) et nous avons vu que la courbe

(2)

$\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})=-h.$

se décompose en trois branches fermées que nous avons appelées $\mathrm {C} _{1},$ $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {C} _{3}\,;$ donc, en vertu de l’inégalité (1), le point $\xi ,\,\eta$ doit rester toujours à l’intérieur de $\mathrm {C} _{1},$ ou toujours à l’intérieur de $\mathrm {C} _{2},$ ou toujours à l’extérieur de $\mathrm {C} _{3}$ ($\xi ,\,\eta$ sont les coordonnées rectangulaires de la planète troublée par rapport aux axes mobiles).

Dans ce qui va suivre, nous supposerons que la valeur de la constante $-h$ est assez grande pour que la courbe (2) se décompose ainsi en trois branches fermées et que le point $\xi ,\,\eta$ reste toujours à l’intérieur de $\mathrm {C} _{2}.$ De cette façon, la distance $r_{2}$ de la