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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

de telle façon qu’un certain nombre de solutions périodiques disparaissent quand on passe de $\mu >0$ à $\mu <0\,;$ on voit d’abord que ce nombre est toujours pair et de plus d’après l’équation précédente, il disparaît toujours autant de solutions stables que de solutions instables.

Supposons maintenant que nous ayons une série analytique de solutions périodiques et que, pour $\mu =0,$ on passe de la stabilité à l’instabilité ou inversement (et cela de façon que l’exposant $\alpha$ s’annule). Alors $q'$ et $p''$ (par exemple) sont au moins égaux à 1. Donc $p'+q''$ est au moins égal à 2. D’où il suit qu’il y aura au moins une autre série analytique de solutions périodiques réelles se confondant avec la première pour $\mu =0.$

Donc si, pour une certaine valeur de $\mu ,$ une solution périodique perd la stabilité ou l’acquiert (et cela de telle façon que l’exposant $\alpha$ soit nul) c’est qu’elle se sera confondue avec une autre solution périodique, avec laquelle elle aura échangé sa stabilité.

379.Revenons maintenant au cas que je m’étais d’abord proposé de traiter, celui où le temps n’entre pas explicitement dans les équations, où par conséquent on a l’intégrale des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$ où enfin il y a deux degrés de liberté.

Je raisonnerai alors comme au n^o 317, je supposerai que la période de la solution périodique qui est $\mathrm {T}$ pour la solution qui correspond à $\mu =0,\,\beta _{i}=0,$ est égale à $\mathrm {T} +\tau$ et peu différente de $\mathrm {T}$ pour les solutions périodiques voisines ; et j’écrirai les équations

(1)

${\begin{aligned}\psi _{1}&=0,&\psi _{2}&=0,&\psi _{3}&=0,&\mathrm {F} &=\mathrm {C} _{0},&\beta _{1}&=0,\end{aligned}}$

où entrent les variables

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \beta _{3},\quad \beta _{4},\quad \mu ,\quad \tau .$

D’après nos hypothèses, le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ doit s’annuler ainsi que tous ses mineurs du premier ordre ; mais les mineurs du second ordre ne seront pas en général tous nuls à la fois.

Faisons donc $\beta _{1}=0$ dans les équations (1) et envisageons le