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CHAPITRE XXXI.

Nous venons d’étudier les deux cas les plus simples, mais une foule d’autres cas peuvent se présenter correspondant aux différentes singularités que peut présenter la courbe (5) à l’origine.

Mais, quelles que soient ces singularités, nous verrons rayonner autour de l’origine un nombre pair $p+q$ de demi-branches de courbes, à savoir $p$ du côté de $\mu >0,$ et $q$ du côté $\mu <0.$ Supposons qu’un petit cercle décrit autour de l’origine les rencontre dans l’ordre suivant

$\mathrm {OP} _{1},\quad \mathrm {OP} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p+q}.$

Soient

(6)

$\mathrm {OP} _{1},\quad \mathrm {OP} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p}$

celles qui correspondent à $\mu >0$ et

(7)

$\mathrm {OP} _{p+1},\quad \mathrm {OP} _{p+2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p+q}$

celles qui correspondent à $\mu <0.$

Alors les demi-branches (6) correspondent alternativement à des solutions périodiques stables et à des solutions instables ; je dirai pour abréger que ces demi-branches sont alternativement stables ou instables.

Il en est de même des demi-branches (7).

D’autre part $\mathrm {OP} _{p}$ et $\mathrm {OP} _{p+1}$ sont toutes deux stables ou toutes deux instables.

Il en est de même par conséquent de $\mathrm {OP} _{p+q}$ et $\mathrm {OP} _{1}.$

Soient donc $p'$ et $p''$ le nombre des demi-branches stables et celui des demi-branches instables pour $\mu >0$ de sorte que

$p'+p''=p.$

Soient $q'$ et $q''$ les nombres correspondants pour $\mu <0$ de sorte que $q'+q''=q,$ Il n’y a alors que trois hypothèses possibles

${\begin{aligned}p'&=p'',&q'&=q'',\\p'&=p''+1,&q'&=q''+1,\\p'&=p''-1,&q'&=q''-1.\end{aligned}}$

Dans tous les cas on a

$p'-p''=q'-q''.$

Supposons que $p$ ne soit pas égal à $q,$ et par exemple que $p>q$