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CHAPITRE XXXI.
Nous venons d’étudier les deux cas les plus simples, mais une
foule d’autres cas peuvent se présenter correspondant aux différentes
singularités que peut présenter la courbe (5) à l’origine.
Mais, quelles que soient ces singularités, nous verrons rayonner
autour de l’origine un nombre pair
de demi-branches de
courbes, à savoir
du côté de
et
du côté
Supposons
qu’un petit cercle décrit autour de l’origine les rencontre
dans l’ordre suivant
![{\displaystyle \mathrm {OP} _{1},\quad \mathrm {OP} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {OP} _{p+q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f0d3467c42e34bbf1963cb1f75860d3e473b65)
Soient
(6)
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celles qui correspondent à
et
(7)
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celles qui correspondent à ![{\displaystyle \mu <0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d4afdfec96ad8bcc7dff16d1a42246e246c715)
Alors les demi-branches (6) correspondent alternativement à
des solutions périodiques stables et à des solutions instables ; je
dirai pour abréger que ces demi-branches sont alternativement
stables ou instables.
Il en est de même des demi-branches (7).
D’autre part
et
sont toutes deux stables ou toutes
deux instables.
Il en est de même par conséquent de
et
Soient donc
et
le nombre des demi-branches stables et
celui des demi-branches instables pour
de sorte que
![{\displaystyle p'+p''=p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163fd727359eb6a146ce24932880fe0341d0618c)
Soient
et
les nombres correspondants pour
de sorte
que
Il n’y a alors que trois hypothèses possibles
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'&=p'',&q'&=q'',\\p'&=p''+1,&q'&=q''+1,\\p'&=p''-1,&q'&=q''-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd48790f305628f2af60cd768cdafb6fe23bc94)
Dans tous les cas on a
![{\displaystyle p'-p''=q'-q''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b06280b29f08102bd9330afd6a347509b1865e)
Supposons que
ne soit pas égal à
et par exemple que