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CHAPITRE XXXI.

seconde équation (4). Soit

(5)

$\Psi (\beta _{2},\mu )=0$

le résultat de la substitution. Notre déterminant fonctionnel étant nul, on aura

${\frac {d\Psi }{d\beta _{2}}}=0\,;$

mais deux cas sont à distinguer :

1^o La dérivée ${\frac {d\Psi }{d\mu }}$ n’est pas nulle, ou, en d’autres termes, le déterminant fonctionnel de $\psi _{1}$ et $\psi _{2},$ par rapport à $\beta _{1}$ et $\mu ,$ n’est pas nul.

Dans ce cas, si l’on regarde $\beta _{2}$ et $\mu$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, la courbe représentée par l’équation (5) aura à l’origine un point ordinaire, où la tangente sera la droite $\mu =0.$

En général, la dérivée seconde

${\frac {d^{2}\Psi }{d\beta _{2}^{2}}}$

ne sera pas nulle, c’est-à-dire que l’origine ne sera pas un point d’inflexion pour la courbe (5).

Si nous coupons par la droite $\mu =\mu _{0},$ $\mu _{0}$ étant une constante assez petite, nous pourrons, suivant le signe de $\mu _{0},$ avoir deux points d’intersection de cette droite et de la courbe (5) dans le voisinage de l’origine ou n’en avoir aucun.

Si, par exemple, la courbe est au-dessus de sa tangente, nous aurons, pour $\mu _{0}>0,$ deux intersections et, par conséquent, deux solutions périodiques, pour $\mu _{0}<0$ nous n’en aurons aucune.

Nous voyons donc deux solutions périodiques se rapprocher l’une de l’autre, se confondre, puis disparaître.

Considérons les deux points d’intersection de la droite $\mu =\mu _{0}$ avec la courbe (5) ; ils correspondront à deux racines consécutives de l’équation (5) et, par conséquent, à deux valeurs de signes contraires de la dérivée ${\frac {d\Psi }{d\beta _{2}}},$ donc à deux valeurs de signes contraires du déterminant fonctionnel des $\psi _{i}$ par rapport aux $\beta \,;$ c’est-