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CHAPITRE XXXI.

aux deux hypothèses

$e^{\alpha \mathrm {T} }>0,\quad e^{\alpha \mathrm {T} }<0.$

Le passage des solutions stables aux solutions instables de la première sorte se fait par la valeur

$\alpha =0.$

Le passage des solutions stables aux solutions instables de la seconde sorte se fait par la valeur

$\alpha ={\frac {i\pi }{\mathrm {T} }}\cdot$

378.Étudions d’abord le passage aux solutions instables de la première sorte. Au moment du passage on a

$e^{\alpha \mathrm {T} }=1.$

Reprenons les quantités $\beta _{k}$ et $\psi _{k}$ définies au Chapitre III et envisageons l’équation

(1)

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{3}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{3}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{3}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{3}}}&{\dfrac {d\psi _{4}}{d\beta _{4}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0\,;$

cette équation a pour racines

$0,\quad 0,\quad e^{\alpha \mathrm {T} }\!-1,\quad e^{-\alpha \mathrm {T} }\!-1.$

Au moment du passage les quatre racines deviennent nulles.

Mais avant d’étudier ce cas simple où l’on a affaire à des équations de la Dynamique avec deux degrés de liberté, et où l’on suppose que la fonction $\mathrm {F}$ ne dépend pas du temps explicitement et que par conséquent les équations admettent l’intégrale des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$ avant, dis-je, d’étudier ce cas simple, il convient peut-être de nous arrêter un instant sur un cas plus simple encore.

Soit $\mathrm {F}$ une fonction quelconque de $x,\,y$ et $t,$ périodique de