mais par deux trajectoires pour l’une, comme l’indique la figure, l’angle est positif, de telle façon que est au-dessus de pour l’autre, l’angle serait négatif.
La trajectoire ne doit pas être regardée comme une trajectoire fermée ; elle part bien du point pour revenir au point mais la direction de la tangente n’est pas la même au point de départ et au point d’arrivée, de sorte que les arcs et ne se raccordent pas.
La trajectoire allant ainsi de en avec un point anguleux en formera ainsi ce qu’on pourra appeler une boucle. En faisant la même construction pour tous les points de on obtiendra une série de boucles ; on en obtiendra même deux, la première correspondant au cas où l’angle est positif, et la seconde au cas où cet angle est négatif. Ces deux séries sont bien séparées l’une de l’autre ; et en effet, le passage de l’une à l’autre ne pourrait se faire que si l’angle devenait infiniment petit.
Alors, la trajectoire devenue infiniment voisine de irait passer par le foyer d’après la définition même des foyers ; mais, comme elle doit aboutir au point les points et se confondraient ; cela ne peut arriver d’après les principes du no 347.
Ainsi donc, si tous les foyers sont en pointe, nous avons deux séries de boucles pour et nous n’en avons plus pour
Si tous les foyers étaient en talon, on pourrait répéter les mêmes raisonnements ; on trouverait qu’il y a deux séries de boucles pour , et qu’il n’y en a plus pour
375.Considérons une des séries de boucles définies dans le numéro précédent ; l’action calculée le long d’une de ces boucles variera avec la position du point elle aura au moins un maximum ou un minimum.
Je dis que, si l’action est maximum ou minimum, les deux arcs et se raccordent, de telle façon que la trajectoire est fermée et correspond à une solution périodique du deuxième genre.
En effet, supposons par exemple que la trajectoire corresponde au minimum de l’action et que l’angle soit plus grand que l’angle comme sur la figure ; prenons alors un point à gauche de et infiniment près de construisons
