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INVARIANTS INTÉGRAUX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les fonctions

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')$

seront des intégrales du système (6).

L’expression

(11)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}&(\xi _{i})\,\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}'\xi _{k}''-\xi _{k}'\mathrm {X} _{i}'')+\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}')\,\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}''\xi _{k}-\xi _{k}''\xi _{i})\\+&\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}'')\,\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')\end{aligned}}\right.$

sera une intégrale du système (7).

Il est aisé, d’autre part, de vérifier qu’elle sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants

$\left|{\begin{array}{lll}\xi _{i}&\xi _{i}'&\xi _{i}''\\\xi _{k}&\xi _{k}'&\xi _{k}''\\\xi _{l}&\xi _{l}'&\xi _{l}''\end{array}}\right|.$

On pourra donc en déduire un invariant intégral du troisième ordre.

Soient maintenant

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),$

deux invariants de deuxième ordre des équations (1).

Nous en déduirons deux intégrales des équations (6), à savoir

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),$

ce que je pourrai écrire, pour abréger,

$\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi \xi ').$

Alors l’expression

(12)

$\left\{{\begin{alignedat}{7}&\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ')&&\mathrm {F} _{2}(\xi ''\xi ''')&{}+{}&\mathrm {F} _{1}(\xi ''\xi ''')&&\mathrm {F} _{2}(\xi \xi ')\\+&\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '')&&\mathrm {F} _{2}(\xi '''\xi ')&{}+{}&\mathrm {F} _{1}(\xi '''\xi ')&&\mathrm {F} _{2}(\xi \xi '')\\+&\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ''')&&\mathrm {F} _{2}(\xi '\xi '')&{}+{}&\mathrm {F} _{1}(\xi '\xi '')&&\mathrm {F} _{2}(\xi \xi ''')\end{alignedat}}\right.$

sera une intégrale du système obtenu en adjoignant aux équations (7) les équations

${\frac {d\xi _{k}'''}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\xi _{i}'''.$

De plus, ce sera une fonction linéaire et homogène par rapport