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CHAPITRE XXII.
Supposons, en effet, que la figure 
se réduise à un parallélogramme
infiniment petit dont les sommets ont pour coordonnées
les valeurs pour 
de
La figure 
sera aussi assimilable à un parallélogramme infiniment
petit dont les sommets auront pour coordonnées les valeurs
pour 
de
L’intégrale 
se réduira à un seul élément qui aura précisément
pour valeur
et, comme cette expression est par hypothèse une intégrale du
système (6), elle aura même valeur pour les deux figures et 
Supposons maintenant que et soient deux surfaces finies ;
décomposons en parallélogrammes infiniment petits à chacun
desquels correspondra un parallélogramme élémentaire de 
La
valeur de est donc la même pour chaque élément de et pour
l’élément correspondant de 
elle est donc la même encore pour
la surface entière et pour la surface entière.
L’intégrale est donc un invariant intégral.
C. Q. F. D.
La réciproque se démontrerait comme au numéro précédent.
244.Le théorème est évidemment général et s’applique aux invariants
d’ordre supérieur à deux. Énonçons-le encore pour ceux
d’ordre trois. Considérons trois solutions particulières des équations (2),
ces trois solutions devront satisfaire au système
| (7)
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Si le système (7) admet une intégrale de la forme
| (8)
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