CHAPITRE XXXI.
PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Les solutions du deuxième genre et le principe de moindre action.
371.Je ne puis passer sous silence les rapports entre la théorie des solutions du deuxième genre et le principe de moindre action ; et c’est même à cause de ces rapports que j’ai écrit le Chapitre XXIX. Mais, pour les faire bien comprendre, quelques préliminaires sont encore nécessaires.
Supposons deux degrés de liberté ; soient et les deux variables de la première série, que l’on pourra considérer comme les coordonnées d’un point dans un plan ; les courbes planes qui satisferont à nos équations différentielles constitueront ce que nous avons appelé des trajectoires.
Soit un point quelconque du plan. Considérons l’ensemble des trajectoires issues du point et soit leur enveloppe. Soit le ième foyer cinétique de sur la trajectoire cette trajectoire touchera l’enveloppe au point d’après la définition même des foyers cinétiques ; je rappelle que le ième foyer de ou son foyer d’ordre est le ième point d’intersection de avec la trajectoire infiniment voisine passant par Mais les circonstances de ce contact peuvent varier. Il peut se faire que ne soit pas un point singulier de la courbe et que le contact soit du premier ordre ; c’est là le cas le plus général.
Soient
les équations de la trajectoire et d’une trajectoire très voisine, issue du point
