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CHAPITRE XXX.

Discussion des cas particuliers.

367.Supposons que ce dénominateur soit égal à 4.

Alors $\left[\Theta _{2}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ ne seront plus indépendants de $\varpi ,$ ils contiendront des termes en $e^{\pm 4i\varpi }.$

L’équation en $\varpi$ donnera toujours deux solutions distinctes

${\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$

qui nous donneront deux solutions périodiques ; seulement le signe de $\lambda$ pouvant dépendre de $\varpi ,$ il pourra se faire que l’on ait :

Deux solutions réelles du deuxième genre pour $\lambda >0\,;$ zéro solution pour $\lambda <0\,;$

Une solution réelle du deuxième genre pour $\lambda >0\,;$ une solution pour $\lambda <0\,;$

Zéro solution réelle du deuxième genre pour $\lambda >0\,;$ deux solutions pour $\lambda <0.$

La fonction $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ de la page 246 devient

$\rho ^{4}\left(\mathrm {A} \cos 4\varphi +\mathrm {B} \right)-z\rho ^{2}.$

Supposons maintenant que le dénominateur de $n$ soit égal à 3.

Alors le développement de $\mu$ suivant les puissances de $\varepsilon$ commence par un terme en $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$ de sorte que si l’on suppose µ=λ, on tirera $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ en séries développées suivant les puissances de $\lambda$ et non plus de ${\sqrt {\lambda }}.$

Le signe de ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ dépendra de $\varpi$ et s’il est positif pour $\varpi =\varpi _{0},$ il sera négatif pour $\varpi =\varpi +{\frac {\pi }{3}}\cdot$

Si donc nous convenons toujours de supposer ${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ essentiellement positif, nous verrons facilement que nous avons :

Une solution du deuxième genre réelle pour $\lambda >0$ et une solution du deuxième genre réelle pour $\lambda <0.$

La fonction $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ de la page 246 devient

$\mathrm {A} \rho ^{2}\cos 3\varphi -z\rho ^{3}.$