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CHAPITRE XXX.
Discussion des cas particuliers.
367.Supposons que ce dénominateur soit égal à 4.
Alors
ne seront plus indépendants de
ils contiendront des termes en
L’équation en
donnera toujours deux solutions distinctes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991d34e223405d1e6309fc7e8fbe7c98eac9f612)
qui nous donneront deux solutions périodiques ; seulement le
signe de
pouvant dépendre de
il pourra se faire que l’on ait :
Deux solutions réelles du deuxième genre pour
zéro solution
pour
Une solution réelle du deuxième genre pour
une solution
pour
Zéro solution réelle du deuxième genre pour
deux solutions
pour
La fonction
de la page 246 devient
![{\displaystyle \rho ^{4}\left(\mathrm {A} \cos 4\varphi +\mathrm {B} \right)-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7207a570e646225585c6bc7a6a1764a37d90d4a7)
Supposons maintenant que le dénominateur de
soit égal à 3.
Alors le développement de
suivant les puissances de
commence
par un terme en
de sorte que si l’on suppose µ=λ,
on tirera
et
en séries développées suivant les puissances
de
et non plus de
Le signe de
dépendra de
et s’il est positif pour
il sera négatif pour
Si donc nous convenons toujours de supposer
essentiellement
positif, nous verrons facilement que nous avons :
Une solution du deuxième genre réelle pour
et une solution
du deuxième genre réelle pour
La fonction
de la page 246 devient
![{\displaystyle \mathrm {A} \rho ^{2}\cos 3\varphi -z\rho ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b43ee6544e37dd6c93b3b11c62ea52624c76b8d)