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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Nous avons donc, à des quantités près de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1}$ ${\bigg (}$en égalant les termes séculaires dans l’équation $x_{2}={\frac {d\Sigma }{dy_{2}}}{\bigg )}$

(20)

$\varepsilon ^{k}t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]=\varepsilon ^{k}y_{2}{\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}\cdot$

En première approximation, c’est-à-dire aux quantités près de l’ordre de $\varepsilon ,$ on a (Cf. p. 99)

${\begin{aligned}x_{2}&=\alpha _{0}=\xi _{0},&u&=\beta _{0}=u_{0},&n_{1}t+\varpi _{1}&=y_{2}=\eta _{0}=t,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}n_{1}&=1\,;&n_{2}&=in\,;&n_{2}t+\varpi _{2}&=v=v_{0}=i(nt+\varpi ).\end{aligned}}$

Nous commettrons donc une erreur de l’ordre de $\varepsilon ^{k+1},$ si, dans le second membre de (20), nous remplaçons

$\alpha _{0},\quad \beta _{0},\quad y_{2},\quad v$

par

$\xi _{0},\quad u_{0},\quad t,\quad i(nt+\varpi ).$

Nous obtiendrons donc $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]$ en faisant cette même substitution dans ${\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}\cdot$ Mais $\mathrm {U} _{k}$ ne contient que des termes en

$im_{1}y_{2}+m_{2}v,$

où

$im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.$

On a donc

${\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}=-2\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dv}}\cdot$

Or, $\mathrm {U} _{k}$ est une fonction périodique de $y_{2}$ et $iv\,;$ donc ${\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dv}}$ ne contient pas de terme indépendant de $v.$ Donc $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]$ ne contient pas de terme indépendant de $\varpi .$ C. Q. F. D.

Pour faciliter l’intelligence du calcul qui précède, je ferai encore une remarque. Les moyens mouvements $n_{1}$ et $n_{2}$ sont donnés par

${\begin{aligned}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\cdot \end{aligned}}$

En général, ils dépendent de $\varepsilon ,$ et ils ne se réduisent à 1 et $in$ que pour $\varepsilon =0.$

Mais ici nous disposons de deux paramètres $\lambda$ et $\mu$ qui peuvent