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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

La fonction $\mathrm {S}$ dépend de $v,$ de $y_{2}$ et des deux constantes $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}.$ La constante des forces vives

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}+\ldots$

est fonction de $\alpha _{0}$ et de $\beta _{0}.$

On a alors, comme solution de nos équations différentielles canoniques, les équations suivantes

${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}};&u&={\frac {d\mathrm {S} }{dv}};&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}};\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}},\end{aligned}}$

où $\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}$ sont deux nouvelles constates d’intégration.

Je vois d’abord que $n_{1}$ et $n_{2},$ qui dépendent d’ailleurs de $\alpha _{0}$ et $\beta _{0},$ sont développables suivant les puissances de $\varepsilon .$

D’autre part, $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ et, si je fais $\varepsilon =0,$ j’ai comme première approximation

${\begin{aligned}x_{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=\alpha _{0};&u={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}&=\beta _{0};\\n_{1}t+\varpi _{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\alpha _{0}}}&=y_{2};&n_{2}t+\varpi _{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\beta _{0}}}&=v.\end{aligned}}$

On a quatre équations d’où l’on peut tirer $x_{2},$ $u,$ $y_{2}$ et $v$ développés suivant les puissances de $\varepsilon$ et dépendant d’ailleurs de $\alpha _{0},$ $\beta _{0},$ $n_{1}t+\varpi _{1},$ $n_{2}t+\varpi _{2}.$

Par un raisonnement tout pareil à celui du n^o 127, on verrait que

$x_{2},\quad u,\quad y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1}),\quad v-(n_{2}t+\varpi _{2})$

sont développables suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad e^{\pm i(n_{2}t+\varpi _{2})}$

Il en sera de même d’ailleurs de ${\sqrt {\overset {}{u}}},$ $x_{1}$ et $y_{1}.$

Je pourrais même ajouter que toutes ces quantités sont développables suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.$

et, en effet, $\mathrm {S} -\mathrm {S} _{0}$ est développable suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{v},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-v}.$