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CHAPITRE XXX.

Il est aisé de voir que

$\Phi _{k}''=\sum \mathrm {A\,D} \Phi _{m}'\,\varpi _{1}^{\alpha _{1}}\varpi _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \varpi _{k}^{\alpha _{k}},$

où $\mathrm {A}$ est un coefficient numérique et où $\mathrm {D} \Phi _{m}'$ est une dérivée de $\Phi _{m}'$ par rapport à $\varpi \,;$ l’ordre de cette dérivée est égal à

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}$

et l’on a d’ailleurs

$k=m+\alpha _{1}+2\alpha _{2}+\ldots +k\alpha _{k}.$

Comme $m$ est au moins égal à 1, puisque $\Phi _{0}$ ne dépend pas de $\varpi ,$ on voit d’abord que $\alpha _{k}$ est nul, ce que d’ailleurs nous savions déjà.

Considérons un terme quelconque où $\alpha _{k},\,\alpha _{k-1},\,\ldots ,$ $\alpha _{h+1}$ soient nuls, mais où $\alpha _{h}$ ne soit pas nul ; on devra avoir

$m\leqq k-h$

Si le dénominateur de $n$ est plus grand que $k-h+2,$ la valeur moyenne de $\mathrm {D} \Phi _{m}$ sera nulle ; ce qui veut dire que ceux des termes de $\Phi _{k}''$ qui dépendent de $\varpi _{h}$ ont leur valeur moyenne nulle.

Nous pouvons déduire de là un résultat important en ce qui concerne la valeur moyenne de $\Phi _{k}''$ et par conséquent celle de $\Theta _{k}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k+2,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra seulement de $\varpi .$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k+1,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra de $\varpi$ et $\varpi _{1}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra de $\varpi ,\,\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à $k-1,$ $[\Theta _{k}]$ dépendra de $\varpi ,$ $\varpi _{1},\,\varpi _{2}$ et $\varpi _{3},\ldots .$

Ce que je viens de dire de $[\Theta _{k}]$ s’applique d’ailleurs à $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot$

Donc, si le dénominateur de $n$ est égal à $k+2,$ la relation (13), où n’entrera que $\varpi ,$ déterminera $\varpi .$

Si le dénominateur est égal à $k+1,$ la relation (13) contiendra $\varpi$ et $\varpi _{1}\,;$ mais $\varpi$ aura été préalablement déterminé par la relation

$\left[{\frac {d\Theta _{k-1}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

La relation (13) déterminera donc $\varpi _{1}$ et par conséquent $\gamma _{1}'.$

Si le dénominateur est égal à $k,$ la relation (13) contiendra $\varpi ,$