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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Remarquons que $\lambda _{2}$ ne sera pas nul en général et, en effet,

{\frac {d[\Theta _{2}]}{d\xi _{0}}}

ne sera pas nul en général. Car $\Theta _{2},$ étant un polynôme de degré 4, contiendra un terme en $\xi _{0}^{2},$ indépendant des $\xi _{k}'$ et des $\eta _{k}'.$ Le coefficient de ce terme sera une fonction périodique de $t$ de période $2\pi$ et la valeur moyenne n’en sera pas nulle en général.

Passons aux équations (5 bis) ou, ce qui revient au même, aux deux dernières équations (5). Les seconds membres de ces deux dernières équations devront avoir leurs valeurs moyennes nulles.

On devra donc avoir

\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]=-2\mu _{2}\mathrm {B} _{0},

ce qui détermine $\mu _{2}.$ Or

u_{0}{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}=\eta _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}}+\xi _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}

est un polynôme du quatrième ordre. $\mathrm {F} _{2}$ contient donc des termes en $x_{1}^{2}y_{1}^{2}$ et, par conséquent, $u_{2}{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}$ contient un terme en

u_{0}^{2}=\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{i(nt+\varpi )}\right)^{2}\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-i(nt+\varpi )}\right)^{2}.

Le coefficient de ce terme est une fonction périodique de $t$ dont la valeur moyenne n’est pas nulle en général, Donc, en général, $\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ et, par conséquent, $\mu _{2}$ ne sont pas nuls. C’est le même raisonnement que pour $\lambda _{2}.$

On doit avoir ensuite

(12)

\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]=0.

Mais je dis que cette condition est remplie d’elle-même.

Nous avons, en effet, l’intégrale des forces vives, $\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,$ d’où nous déduisons la série d’équations

{\begin{aligned}\Phi _{0}&=const.,&\Phi _{1}&=const.,&\Phi _{2}&=const.,&\ldots .\end{aligned}}

Considérons la troisième de ces équations

\Phi _{2}=\Theta _{2}-\xi _{2}-inu_{2}+\lambda _{2}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{2}u_{0}=\mathrm {const.}