Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/316

304

CHAPITRE XXX.

voit que $\Theta _{2}$ deviendra un polynôme du 4^e degré et que

${\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}$

seront respectivement des polynômes de degrés

$2,\,\quad 4,\quad 3,\quad 3.$

Nous pouvons généraliser ce résultat.

Les équations (5) et (5 bis) nous permettent de calculer de proche en proche les inconnues $\xi _{k},\,\eta _{k},$ $\xi _{k}',\,\eta _{k}'\,;$ on ne serait arrêté que si la valeur moyenne du second membre de l’une des équations (5) était différente de zéro.

Supposons que cette circonstance ne se présente pas ; je dis que

$\xi _{k},\quad \eta _{k},\quad \xi _{k}',\quad \eta _{k}'$

seront des polynômes de degrés

$k+2,\quad k,\quad k+1,\quad k+1$

par rapport à

(10)

${\sqrt {\xi _{0}}},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{i(nt+\varpi )},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{-i(nt+\varpi )},$

les coefficients de ces polynômes étant eux-mêmes des fonctions périodiques de $t$ de période $2\pi .$

Supposons, en effet, que cela soit vrai pour toutes les valeurs de l’indice inférieures à $k.$

Nous savons que $\Theta _{k}$ est un polynôme entier de degré $k+2,$ par rapport à

(11)

$\xi _{q},\quad \eta _{q},\quad \xi _{q}',\quad \eta _{q}'\qquad (q<k)$

en supposant ces quantités respectivement de degré $q+2,$ $q,$ $q+1,$ $q+1.$ Si donc nous substituons à la place des quantités (11) des polynômes dont le degré par rapport aux quantités (10) soit précisément $q+2,$ $q,$ $q+1,$ $q+1,$ il est évident que le résultat de la substitution sera un polynôme de degré $k+2$ par rapport aux quantités (10).

Donc $\Theta _{k}$ est un polynôme de degré $k+2$ par rapport aux quantités (10) et pour la même raison

${\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}'}}$