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CHAPITRE XXX.

n’est pas un entier, nous serons certains que la valeur moyenne de ${\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}}$ est nulle.

Il nous suffira donc de prendre $\lambda _{1}=0,$ pour que le second membre ait sa valeur moyenne nulle et pour que $\eta _{1}$ soit déterminé à une constante près $\delta _{1}.$

Passons maintenant aux deux dernières équations (7) ; elles peuvent s’écrire

${\begin{aligned}-{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}+in\xi _{1}'&={\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\xi _{0}',\\-{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}-in\eta _{1}'&=-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\eta _{0}'.\end{aligned}}$

Les seconds membres sont des fonctions périodiques connues de $t\,;$ pour que l’intégration soit possible, il suffit donc que le second membre de la première ne contienne pas de terme en $e^{int},$ ni celui de la seconde de terme en $e^{-int}.$

La discussion de cette double condition se fera plus aisément en considérant les troisième et quatrième équations (7) qui sont équivalentes aux deux dernières et qui s’écrivent

${\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}&={\frac {d\Theta _{1}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0}.\end{aligned}}$

Il faut que les valeurs moyennes des seconds membres soient nulles.

En ce qui concerne la première de ces équations, la condition est remplie d’elle-même, et en effet

$\left[{\frac {d\Theta _{1}'}{dv_{0}}}\right]={\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\cdot$

Cette dernière expression est nulle à cause de l’équation (9) si le dénominateur de $n$ est égal à 3, et dans le cas contraire parce que $[\Theta _{1}]$ est identiquement nul.

La seconde condition s’écrit

${\frac {d[\Theta _{1}]}{du_{0}}}=-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0}.$

Si le dénominateur de $n$ est égal à 3, elle nous donnera $\mu _{1}.$

Si au contraire le dénominateur n’est pas égal à 3, elle donnera $\mu _{1}=0$ parce que $[\Theta _{1}]$ est identiquement nul.