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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

degrés de liberté seulement et soient $x$ et $y$ les deux variables qui définissent la position du système et que nous pourrons regarder comme les coordonnées d’un point dans un plan.

Soient

${\begin{aligned}x&=f_{1}(t),&y&=f_{2}(t)\end{aligned}}$

les équations d’une trajectoire $(\mathrm {T} )$ qui sera une courbe plane. Posons

${\begin{aligned}x&=f_{1}(t)+\xi ,&y&=f_{2}(t)+\eta ,\end{aligned}}$

et, négligeant les carrés de $\xi$ et de $\eta ,$ formons les équations aux variations. Comme elles sont linéaires et du quatrième ordre, on aura donc

${\begin{aligned}\xi &=a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2}+a_{3}\xi _{3}+a_{4}\xi _{4},\\\eta &=a_{1}\eta _{1}+a_{2}\eta _{2}+a_{3}\eta _{3}+a_{4}\eta _{4},\end{aligned}}$

les $a_{i}$ étant des constantes d’intégration, les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ des fonctions de $t.$

L’équation du n^o 341,

$\Delta (t',t'')=0,$

s’écrit alors

(1)

$\left|{\begin{array}{cccc}\xi _{1}'&\xi _{2}'&\xi _{3}'&\xi _{4}'\\\eta _{1}'&\eta _{2}'&\eta _{3}'&\eta _{4}'\\\xi _{1}''&\xi _{2}''&\xi _{3}''&\xi _{4}''\\\eta _{1}''&\eta _{2}''&\eta _{3}''&\eta _{4}''\end{array}}\right|=0.$

C’est cette équation qui définit les foyers hamiltoniens.

Elle exprime que le point $x,\,y$ qui décrit la trajectoire $(\mathrm {T} )$ et le point $x+\xi ,$ $y+\eta$ qui décrit la trajectoire infiniment voisine $(\mathrm {T} ')$ se trouvent à deux époques différentes, à savoir aux époques $t'$ et $t'',$ séparés par une distance infiniment petite d’ordre supérieur.

Mais ce ne sont pas là les conditions que doivent remplir les foyers maupertuisiens. Deux des points de la trajectoire $(\mathrm {T} ),$ à savoir les deux points $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''$ qui correspondent aux époques $t'$ et $t'',$ doivent être à une distance infiniment petite d’ordre supérieur de la trajectoire $(\mathrm {T} ').$ Mais il n’est pas nécessaire que le point mobile qui parcourt $(\mathrm {T} ')$ passe précisément à l’époque $t'',$ par exemple, infiniment près de $\mathrm {M} ''.$ En revanche, la constante des forces vives doit avoir la même valeur pour $(\mathrm {T} )$ et pour $(\mathrm {T} ')\,;$