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CHAPITRE XXIX.
Il est aisé de voir quelle est la signification géométrique de ce
qui précède.
La courbe de l’espace à
dimensions
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
représentant une solution des équations (c) pourra s’appeler une
trajectoire, que j’appelle ![{\displaystyle (\mathrm {T} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2463551fa8b88b03fd74865f5b05b7fca08adf4d)
La courbe
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}+\xi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d646a041878161bc8e31f96920678c0322673ba9)
représentera une trajectoire infiniment voisine.
Si par le point
on mène une de ces trajectoires
infiniment
voisines de
et que cette trajectoire vienne de nouveau
couper la trajectoire
en
(plus exactement, la distance
de
à cette trajectoire sera un infiniment petit d’ordre supérieur) ;
les points
et
seront conjugués si, de plus, le
point qui décrit
passe en
et infiniment près de
aux
époques
et
342.Dans le cas du principe de Hamilton, la condition (A) est
toujours remplie ; en effet, on a
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ff8218dd06e44ce8f2ddbfc4cbda43ef7a07b7)
et
est une forme quadratique homogène par rapport aux ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
Dans tous les problèmes de Dynamique, cette forme quadratique
est définie et positive.
Si nous changeons
en
se change en
![{\displaystyle \mathrm {H} _{1}(x_{i}')+\sum \varepsilon _{i}\,{\frac {d\mathrm {H} _{1}}{dx_{i}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2d0d194bc80af4fe2d23e58b7e150900b4eee8)
et
se change en
![{\displaystyle \mathrm {H} _{2}(x_{i}')+\mathrm {H} _{2}(\varepsilon _{i})+\sum \varepsilon _{i}\,{\frac {d\mathrm {H} _{2}}{dx_{i}'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fdfe739cdbc5178acaec73e6a4d57b23fae633)
d’ailleurs
![{\displaystyle \sum \varepsilon _{i}\,{\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dx_{i}'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ddf36e7777a904b06ce02c69d8f15a20c89123)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {H} (x_{i}'+\varepsilon _{i})=\mathrm {H} _{0}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{2}+\sum \varepsilon _{i}{\frac {d(\mathrm {H} _{0}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{2})}{dx_{i}'}}+\mathrm {H} _{2}(\varepsilon _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0811813efd60d83037dfad1b6e790971fc46ec)