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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

données

${\begin{array}{cccc}\varphi _{1}(t'),&\varphi _{2}(t'),&\ldots ,&\varphi _{n}(t'),\\\varphi _{1}(t''),&\varphi _{2}(t''),&\ldots ,&\varphi _{n}(t''),\end{array}}$

sont deux points conjugués.

Si de plus $t''$ est celle des époques conjuguées de $t',$ et postérieure à $t',$ qui est la plus voisine de $t',$ nous dirons que $\mathrm {M} ''$ est le foyer de $\mathrm {M} '.$

Nous pouvons maintenant énoncer la condition (B) : c’est qu’entre $t_{0}$ et $t_{1}$ ne se trouve aucune époque conjuguée de $t_{0}.$

Pour que $\mathrm {J}$ soit un minimum, il faut et il suffit que les conditions (A) et (B) soient remplies.

On peut tirer de là une conséquence immédiate.

Soient $t_{0},\,t_{1},\,t_{2},\,t_{3}$ quatre époques.

Soient $\mathrm {M} _{0},\,\mathrm {M} _{1},\,\mathrm {M} _{2},\,\mathrm {M} _{3}$ les points correspondants de la courbe

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t).$

Supposons que $\mathrm {M} _{1}$ soit le foyer de $\mathrm {M} _{0}$ et $\mathrm {M} _{3}$ celui de $\mathrm {M} _{2}.$

Si la condition (A) est remplie on pourra avoir

$t_{0}<t_{1}<t_{2}<t_{3}$

ou

$t_{0}<t_{2}<t_{1}<t_{3}$

ou

$t_{2}<t_{3}<t_{0}<t_{1}.$

Mais on ne pourra pas avoir

$t_{0}<t_{2}<t_{3}<t_{1}\,;$

sans quoi l’intégrale

$\int _{t_{0}}^{t_{1}-\varepsilon }$

devrait être minimum puisque la condition (B) est remplie, et l’intégrale

$\int _{t_{3}}^{t_{1}-\varepsilon }$

ne serait pas minimum puisque la condition (B) ne serait pas remplie en ce qui la concerne.

Cela est impossible puisqu’on peut faire varier les fonctions $x_{i}$ entre $t_{2}$ et $t_{1}-\varepsilon ,$ sans les faire varier entre $t_{0}$ et $t_{2}.$