Il y a un cas en effet où le procédé en question est illusoire, c’est celui où l’invariant que l’on veut transformer est une intégrale de différentielle exacte. L’invariant intégral auquel conduirait la transformation serait alors identiquement nul.
Si maintenant on transforme un invariant d’ordre on obtient un invariant d’ordre mais cet invariant est une intégrale de différentielle exacte, de sorte que si l’on veut le transformer de nouveau, on tombe sur un résultat identiquement nul.
Relation entre les invariants et l’équation aux variations.
242.Reprenons le système
| (1) |
Nous pouvons former les équations aux variations correspondantes telles qu’elles ont été définies au début du Chapitre IV.
Pour former ces équations, on change dans les équations (1) en et l’on néglige les carrés des on trouve ainsi le système d’équations linéaires
| (2) |
Il y a, entre les intégrales des équations (2) et les invariants intégraux des équations (1), un lien intime qu’il est aisé d’apercevoir.
Soit
une intégrale quelconque des équations (2). Ce sera une fonction homogène par rapport aux et dépendant d’ailleurs des d’une manière quelconque. Je pourrai toujours supposer que cette fonction est homogène de degré 1 par rapport aux car s’il n’en était pas ainsi, je n’aurais qu’à élever à une puissance convenable pour trouver une fonction homogène du degré 1.
Considérons maintenant l’expression
| (3) |
je dis que c’est un invariant intégral du système (1).
