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CHAPITRE XXIX.

l’action maupertuisienne deviendra

$\int \left[2\,d\tau \,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}+d\sigma \right].$

Le principe de Maupertuis est donc applicable au cas qui nous occupe, comme à celui du mouvement absolu ; mais il y a une différence essentielle au point de vue de ce qui va suivre.

Dans tous les problèmes que l’on rencontrera, la force vive $\mathrm {T}$ ou $\mathrm {H} _{2}$ est essentiellement positive ; c’est une forme quadratique définie positive. Dans le cas du mouvement absolu (n^o 337) l’action

$\int 2\,d\tau \,{\sqrt {\mathrm {U} -h}}$

est essentiellement positive ; elle ne change pas quand on permute les limites. Au contraire, dans le cas actuel, l’action se compose de deux termes ; le premier

$\int 2\,d\tau \,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}$

est toujours positif et ne change pas quand on permute les limites.

Le second, $\textstyle \int d\sigma ,$ change de signe quand on permute les limites ; il peut donc être positif ou négatif.

Si l’on observe de plus que, dans certains cas, le premier terme s’annule sans que le second s’annule, on verra que l’action n’est pas toujours positive et cette circonstance nous occasionnera dans la suite beaucoup de difficultés.

339.Pour montrer comment les considérations qui précèdent s’appliquent au mouvement relatif, considérons d’abord le mouvement absolu du système ; soit donc

$\mathrm {H} =\mathrm {T} +\mathrm {U}$

et imaginons que la position du système soit définie par $n+1$ variables

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},\quad \omega ,$

où $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ suffisent pour définir la position relative des différents points du système, et $\omega$ l’orientation du système dans l’espace.