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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

l’équation

$\mathrm {F} =0.$

De cette équation, nous tirerons ${\frac {dx_{1}}{dt}}$ en fonction des $x_{k}$ et des ${\frac {dx_{k}}{dx_{1}}}\cdot$ Nous substituerons ensuite cette valeur de ${\frac {dx_{1}}{dt}}$ dans les expressions (7) et dans $\mathrm {J} \,;$ cette dernière intégrale prendra la forme

$\int \sum y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}\,dx_{1}=\int \Phi \,dx_{1},$

où $\Phi$ est fonction des $x_{k}$ et des dérivées ${\frac {dx_{k}}{dx_{1}}}\cdot$ Cette intégrale, mise ainsi sous une forme indépendante du temps, est encore minimum. C’est là le principe de moindre action sous sa forme maupertuisienne.

Si $h$ n’était pas nul, on n’aurait qu’à changer $\mathrm {F}$ en $\mathrm {F} -h.$

337.Examinons d’abord le cas particulier le plus important.

Supposons que l’on ait

$\mathrm {F} =\mathrm {T} -\mathrm {U} ,$

$\mathrm {T}$ étant homogène du second degré par rapport aux variables $y_{i},$ tandis que $\mathrm {U}$ est indépendant de ces variables.

Il vient alors

${\begin{aligned}\sum y_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&=2\mathrm {T} ,&\mathrm {H} &=\mathrm {T} +\mathrm {U} .\end{aligned}}$

D’après le principe de Hamilton, l’intégrale

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\mathrm {T} +\mathrm {U} \right)\,dt$

doit être minimum.

Voyons ce que devient le principe de Maupertuis ; l’équation des forces vives s’écrit

$\mathrm {T} -\mathrm {U} =h.$

Alors, l’action maupertuisienne a pour expression

$\int \left(\mathrm {T} +\mathrm {U} +h\right)\,dt.$

Les équations

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}}$