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CHAPITRE XXVIII.

genre pour $z>0$ et n’en admettent aucune pour $z<0\,;$ de ces deux solutions, une est stable et une instable.

Deuxième cas. — Le maximum est positif et le minimum négatif.

Les fonctions $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V}$ présentent :

Pour $z>0,$ un maximum pour $\rho =0,$ deux minimax ;

Pour $z<0,$ un minimum pour $\rho =0,$ deux minimax.

Les équations différentielles admettent toujours, outre la solution du premier genre qui est stable, une solution instable du deuxième genre.

Troisième cas. — Le maximum lui-même est négatif.

Les équations différentielles ont alors :

Pour $z>0,$ une solution du premier genre stable ;

Pour $z<0,$ une solution du premier genre stable et deux solutions du deuxième genre dont une stable et instable.

Il resterait à examiner le cas où l’équation (1) a quatre racines réelles.

Les équations admettent alors :

Pour $z>0,$ une solution du premier genre stable, $h$ solutions du deuxième genre instables, $k$ solutions du second genre stable ;

Pour $z<0,$ une solution du premier genre stable, $2-h$ solutions du second genre stables, $2-k$ solutions du deuxième genre instables.

Les nombres entiers $h$ et $k$ peuvent, suivant les signes des maxima et des minima de $f(\varphi ),$ prendre les valeurs suivantes

${\begin{array}{rrlr}h=k=2\,;&h=2,\;k=1\,;&h=2,\;k=0\,;&h=1,\;k=0\,;\\&h=k=0\,;&h=k=1.\end{array}}$