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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Il faut, donc vérifier que l’équation en $\mathrm {S}$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

n’a pas de racine égale à $-1.$

Or, les racines de cette équation sont, d’après le n^o 60, égales à

$e^{\alpha _{p}\mathrm {T} },$

les $\alpha$ étant les exposants caractéristiques ; il faut donc vérifier que l’on n’a pas

$\alpha ={\frac {(2k+1)\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }},$

$k$ étant entier ; or, l’exposant $\alpha _{1}$ est égal par hypothèse à

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }},$

$k$ étant entier, et les autres exposants ne sont pas en général commensurables avec ${\frac {\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }}.$

La difficulté qui nous occupe ne se présentera donc pas.

C’est pour l’éviter que j’ai supposé au n^o 330

$\alpha _{1}={\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}$ ($k$ entier)

et non pas

$\alpha _{1}={\frac {k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}$ ($k$ entier).

Cas particuliers.

335.Disons quelques mots des cas les plus simples ; supposons seulement deux degrés de liberté.

Supposons que la forme analogue à celle que j’ai appelée $\mathrm {U} _{0},$