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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
Or, les équations (2), quand on fait
et qu’on se restreint
aux termes du premier degré par rapport aux
se réduisent à
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25db89b0e6268f84f1c1c7ff89626d44c440abf)
et nous venons de voir que le déterminant fonctionnel correspondant
n’est pas nul.
Dans
remplaçons
par leurs valeurs tirées
ainsi des équations (2) ; je dis que nous allons nous retrouver
dans les conditions du numéro précédent :
1o En effet, nous n’avons plus que trois variables indépendantes
et
;
2o La fonction
est développable suivant les puissances de ces
variables ;
3o Les équations (1) peuvent être remplacées par
(3)
|
|
|
où les
représentent des dérivées prises en regardant les
comme des fonctions de
et de
définies par les
équations (2).
Nous avons, en effet,
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}{\frac {dx_{3}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{4}}}{\frac {dx_{4}}{dx_{1}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dx_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb4dc62d2131d6dea4af0e29dd0793ca8cb572f)
d’où, en vertu des équations (2),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831a53ba32e7981f570a76925edac2339cc12ad6)
4o Pour
considéré comme fonction de
et de
présente un maximum quand ces deux variables sont nulles.
Pour le voir, il nous faut rechercher dans
les termes du
deuxième degré par rapport à
et à
Soient
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}+z^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6c59838f4c488c24db1afa9d687ea1f8cb47f2)
ces termes. Pour obtenir
![{\displaystyle \mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbee7db950436bd43d274a2dd8db6b2218e423a3)