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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

constante et l’on n’a plus pour résoudre l’équation (3) qu’à chercher les maxima et minima de $\mathrm {W} _{k}.$ Comme nous l’avons vu, on trouvera au moins deux solutions d’ordre impair.

Nous avons donc établi que les équations (2) et (3) ont toujours des solutions réelles d’ordre impair. Le théorème énoncé au début de ce numéro est donc démontré.

332.Soit maintenant $\mathrm {V}$ une fonction de $n+1$ variables

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}$ et  $z.$

Je suppose :

1^o Que $\mathrm {V}$ est développable suivant les puissances de $x$ et de $z\,;$

2^o Que pour

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0,$

on a quel que soit $z$

$\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0.$

3^o Envisageons l’ensemble des termes de $\mathrm {V}$ qui sont du second degré par rapport aux $x.$ Ils représentent une forme quadratique qui peut être égalée à la somme de $n$ carrés affectés de coefficients positifs ou négatifs.

Je suppose que, quand $z$ passe du positif au négatif, deux de ces $n$ coefficients passent du positif au négatif et que les $n-2$ autres coefficients ne s’annulent pas.

Je dis que, dans ces conditions, les équations

(1)

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0$

admettent des solutions réelles différentes de

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.$

En effet, développons $\mathrm {V}$ suivant les puissances de $z$ et soit

$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+\mathrm {V} _{1}\,z+\mathrm {V} _{2}\,z^{2}+\ldots .$

Soient $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{1}$ l’ensemble des termes du deuxième degré de $\mathrm {V} _{0}$ et $\mathrm {V} _{1}.$

L’ensemble $\mathrm {U} _{1}$ est une forme quadratique décomposable en une somme de $n-2$ carrés ; car nous savons que, pour $z=0,$