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CHAPITRE XXVIII.
et
étant des entiers premiers entre eux ; et qui, de plus, ne
corresponde pas à un maximum ou à un minimum de ![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c92ad3410dfa9d804bb83e242506426ca2671f)
On verra plus loin, au no 334, pourquoi je mets au numérateur
et non pas
Dans tout intervalle, si petit qu’il soit, il y a une infinité de
pareilles valeurs.
Si
est un entier quelconque, pour cette valeur
l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {p\,m\,\alpha _{1}\,\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6475469871bdaa84c4ff8b36821b42711a14ba8c)
est nulle ; de plus, comme
ne correspond pas à un maximum
ou à un minimum de
cette expression changera de signe
quand
passera de
à ![{\displaystyle \mu _{0}+\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c2660e7e4261bcc8f4919072c958908e2de0b6)
Supposons, par exemple, qu’elle passe du négatif au positif.
En raisonnant comme au no 328 nous verrons que l’on peut
choisir l’entier
de telle façon que les expressions
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {p\,m\,\alpha _{k}\,\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}\quad (k=2,\,3,\,\ldots ,\,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ff2e69980a5765e7a1c0597bdfe88e2ec1136c)
présentent toutes les combinaisons possibles de signes, et en particulier
qu’elles soient toutes négatives.
Cela posé, pour
notre fonction
présentera un
maximum, puisque toutes nos expressions seront négatives ; mais
pour
notre solution périodique ne correspondra plus
à un maximum de
puisque l’une de ces expressions sera
devenue positive.
Théorèmes sur les maxima.
331.Pour aller plus loin, il est nécessaire de démontrer une
propriété des maxima ; soit
une fonction de trois variables
et
développable suivant les puissances croissantes de ces
trois variables. Je suppose :
1o Que, pour
s’annule ainsi que ses dérivées
et cela quel que soit