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CHAPITRE XXVIII.

Or, c’est ce qui résulte immédiatement de ce que nous venons de dire plus haut.

Passons au cas où l’on a une relation de la forme (2). Nous pouvons toujours supposer les entiers $b$ premiers entre eux ; dans ce cas, l’expression

(4)

$b_{1}z_{1}+b_{2}z_{2}+\ldots +b_{n-1}z_{n-1}$

admet pour période unique $2\pi .$

Pour qu’il n’existe pas de nombres $z_{k}$ satisfaisant aux inégalités (3), il faut et il suffit que la différence entre la plus grande et la plus petite valeur que prenne l’expression (4), quand on donne aux $z_{k}$ toutes les valeurs compatibles avec les inégalités (3), que cette différence, dis-je, soit plus petite que $2\pi ,$ c’est-à-dire qu’une période de cette expression (4).

Or, cette différence est manifestement

$\pi \left(|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n-1}|\right)\,;$

on doit donc avoir

(5)

$|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n-1}|\leqq 2.$

L’inégalité ne peut avoir lieu que si tous les $b$ sont nuls, sauf un d’entre eux qui doit être égal à $\pm 1.$

Dans ce cas $\omega _{k}$ doit être égal à un multiple de $2\pi \,;$ cela reviendrait à dire que $\alpha _{k}$ devrait être nul, puisque $\alpha _{k}$ n’est déterminé qu'à un multiple près de ${\frac {2\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }}.$

Or, nous avons précisément exclu le cas où l’un des $\alpha _{k}$ est nul.

L’égalité ne peut avoir lieu que si tous les $b$ sont nuls, sauf deux d’entre eux qui doivent être égaux à $\pm 1.$

Alors la somme de la différence de deux des $\omega _{k}$ sera un multiple de $2\pi \,;$ et, si nous remarquons que les $\alpha _{k}$ ne sont déterminés qu’à un multiple près de ${\frac {2\pi {\sqrt {-1}}}{\mathrm {T} }},$ nous pouvons énoncer ce résultat d’une autre manière.

Deux des exposants caractéristiques seront égaux.

C’est le seul cas d’exception qui subsiste et que l’on peut facilement exclure.

329.Supposons maintenant que les équations de la Dynamique