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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

et soit

Donnons à et aux toutes les valeurs entières possibles ; si nous regardons comme les coordonnées d’un point dans l’espace à dimensions, nous obtiendrons ainsi une infinité de points. Je dis qu’il y aura une infinité de ces points dans toute portion de l’espace à dimensions si petite qu’elle soit.

Je n’aurais, pour le montrer, qu’à avoir recours aux raisonnements par lesquels on établit qu’une fonction uniforme de variables réelles ne peut avoir périodes distinctes.

Les quantités inscrites dans le tableau suivant :

joueraient dans ce raisonnement le rôle des périodes.

Il y aurait exception si ces périodes n’étaient pas distinctes, c’est-à-dire si l’une des quantités était commensurable avec ou, plus généralement, s’il existe une combinaison linéaire des n’admettant qu’une seule période, c’est-à-dire s’il y a une relation de la forme

(2)

les étant entiers.

Laissons d’abord de côté ce cas d’exception ; les quantités (1) seront égales à

Dire que l’on peut choisir l’entier de telle sorte que ces quantités réalisent une combinaison de signe donnée, c’est dire qu’il y a des nombres satisfaisant à des inégalités de la forme

(3)

les étant égaux à 0 ou à