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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
Les équations (3) n’étant pas distinctes peuvent être remplacées
par
d’entre elles, par exemple par
![{\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n-1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d93e73b44edb09286d7938b54552bbd2a797557)
Considérons alors le système
(3 bis)
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Les équations (3 bis) représentent non plus une surface mais
une courbe dont fait partie la droite
(4)
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Pour que par un point de la droite (4) passe une autre branche
de courbe, il faut que le jacobien de
![{\displaystyle \psi _{1},\quad \psi _{2},\quad \ldots ,\quad \psi _{n-1},\quad \mathrm {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e95c42f2a5f054ac311044de79b129e6d8fb8b)
par rapport aux
s’annule.
Cette condition peut encore se mettre sous une autre forme.
Supposons que nous résolvions l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i})=\mathrm {C} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9729cc18282301d97579d0d2c1bbbbf764c2b571)
par rapport à
et que cette résolution donne
![{\displaystyle x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd35c787614ab75ad10aa645c5ef7d126713c31e)
Substituons
à la place de
dans
et soit
le résultat de
cette substitution.
Les équations (1) se trouveront ainsi remplacées par les suivantes
(1 bis)
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Ces équations (1 bis) admettront pour solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa286d625c425d1e3a8b1972797ab3829d32259)
Les exposants caractéristiques de cette solution périodique,
considérée comme appartenant aux équations (1 bis), seront au
nombre de
Soient
ces
exposants. Ce
seront les mêmes que ceux de cette solution périodique
considérée comme appartenant aux équations (1) en supprimant
celui des
exposants qui est égal à zéro.